Задание 14 ЕГЭ по профильной математике — Уравнение

Решение.
а) Используем формулу косинуса двойного угла:
(косинус 2x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно синус в квадрате x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно)
(равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z) (косинус 2x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно)
(равносильно синус в квадрате x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно)
(равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z)
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа (минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,) (минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,) (минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби)
Ответ: а) ((дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z ) ;) б) (минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,) (минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,) (минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби)

Решение. а) Используем формулу косинуса двойного угла: (косинус 2x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно синус в квадрате x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно) (равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z) (косинус 2x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно) (равносильно синус в квадрате x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно) (равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z) б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа (минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,) (минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,) (минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби) Ответ: а) ({ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z } ;) б) (минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,) (минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,) (минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби)

Решение.
а) Преобразуем уравнение:
(2 синус x (синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x) =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка тангенс x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности) (2 синус x (синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x) =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x конец совокупности . равносильно)
(равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка тангенс x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности)
б) Корни, принадлежащие отрезку ([ дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи ] ,) найдём, пользуясь единичной окружностью. Получаем: (2 Пи , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,3 Пи)
Ответ: а) ((Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z ) ;) б) (2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;3 Пи)

Решение. а) Преобразуем уравнение: (2 синус x (синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x) =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка тангенс x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности) (2 синус x (синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x) =0 равносильно совокупность выражений новая строка синус x=0, новая строка синус x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x конец совокупности . равносильно) (равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка тангенс x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= Пи k, новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности) б) Корни, принадлежащие отрезку ([ дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи ] ,) найдём, пользуясь единичной окружностью. Получаем: (2 Пи , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,3 Пи) Ответ: а) ({ Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z } ;) б) (2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;3 Пи)