Задание 16 ЕГЭ по профильной математике — Неравенство

Решение.
Заметим, что (x в квадрате плюс 6x плюс 10= (x плюс 3) в квадрате плюс 1≥1) при любых значениях x. Значит, выражение (логарифм по основанию (x в квадрате плюс 6x плюс 10) (3x плюс 10)) положительно при (x больше минус 3,) отрицательно при (минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше минус 3) и не определено при (x≤ минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби) и (x= минус 3)
При (x больше минус 3) выражение (4x плюс 13) положительно, а при (минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше минус 3) исходное неравенство равносильно неравенству (4x плюс 13≤0,) откуда (x≤ минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби) Таким образом, решение исходного неравенства:
(минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше x≤ минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби ,x больше минус 3)
Ответ: ((минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби ] ∪ (минус 3; плюс бесконечность))

Решение. Заметим, что (x в квадрате плюс 6x плюс 10= (x плюс 3) в квадрате плюс 1\geqslant1) при любых значениях x. Значит, выражение (логарифм по основанию (x в квадрате плюс 6x плюс 10) (3x плюс 10)) положительно при (x больше минус 3,) отрицательно при (минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше минус 3) и не определено при (x\leqslant минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби) и (x= минус 3) При (x больше минус 3) выражение (4x плюс 13) положительно, а при (минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше минус 3) исходное неравенство равносильно неравенству (4x плюс 13\leqslant0,) откуда (x\leqslant минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби) Таким образом, решение исходного неравенства: (минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше x\leqslant минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби ,x больше минус 3) Ответ: ((минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби ] \cup (минус 3; плюс бесконечность))

Решение.
Найдем ОДЗ:
(система выражений x больше 0, 0,04 умножить на 5 в степени x больше 0, 0,04 умножить на 5 в степени x не равно q 1 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби умножить на 5 в степени x не равно q 1 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, 5 в степени (x минус 2) не равно q 1 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, x не равно q 2. конец системы)
Применим метод рационализации: на ОДЗ знак выражения вида (логарифм по основанию (f (x)) g (x) минус логарифм по основанию (f (x)) h (x)) эквивалентен знаку выражения ((f (x) минус 1) (g (x) минус h (x))) Получим:
(дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию (0,25) (0,04 умножить на 5 в степени x) конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: логарифм по основанию (0,25) 5 в степени (x минус 2) конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно)
(равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: (x минус 2) логарифм по основанию (0,25) 5 конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4) (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно)
(равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 4) (x минус 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно система выражений x минус 4 меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности) (дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию (0,25) (0,04 умножить на 5 в степени x) конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: логарифм по основанию (0,25) 5 в степени (x минус 2) конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно)
(равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: (x минус 2) логарифм по основанию (0,25) 5 конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно)
(равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4) (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно)
(равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 4) (x минус 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно система выражений x минус 4 меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности) (дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию (0,25) (0,04 умножить на 5 в степени x) конец дроби больше или равно 0 равносильно)
(равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: логарифм по основанию (0,25) 5 в степени (x минус 2) конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно)
(равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: (x минус 2) логарифм по основанию (0,25) 5 конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно)
(равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4) (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно)
(равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 4) (x минус 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно)
(равносильно система выражений x минус 4 меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности)
Ответ: ((0; 2) ∪ (2; 4 ])

Решение. Найдем ОДЗ: (система выражений x больше 0, 0,04 умножить на 5 в степени x больше 0, 0,04 умножить на 5 в степени x не равно q 1 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби умножить на 5 в степени x не равно q 1 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, 5 в степени (x минус 2) не равно q 1 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, x не равно q 2. конец системы) Применим метод рационализации: на ОДЗ знак выражения вида (логарифм по основанию (f (x)) g (x) минус логарифм по основанию (f (x)) h (x)) эквивалентен знаку выражения ((f (x) минус 1) (g (x) минус h (x))) Получим: (дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию (0,25) (0,04 умножить на 5 в степени x) конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: логарифм по основанию (0,25) 5 в степени (x минус 2) конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно) (равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: (x минус 2) логарифм по основанию (0,25) 5 конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4) (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно) (равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 4) (x минус 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно система выражений x минус 4 меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности) (дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию (0,25) (0,04 умножить на 5 в степени x) конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: логарифм по основанию (0,25) 5 в степени (x минус 2) конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно) (равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: (x минус 2) логарифм по основанию (0,25) 5 конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно) (равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4) (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно) (равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 4) (x минус 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно система выражений x минус 4 меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности) (дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 3 логарифм по основанию 2 x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию (0,25) (0,04 умножить на 5 в степени x) конец дроби больше или равно 0 равносильно) (равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: логарифм по основанию (0,25) 5 в степени (x минус 2) конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно) (равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус 2) (логарифм по основанию 2 x минус 1) , знаменатель: (x минус 2) логарифм по основанию (0,25) 5 конец дроби больше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно) (равносильно система выражений дробь: числитель: (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 4) (логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно) (равносильно система выражений дробь: числитель: (x минус 4) (x минус 2) , знаменатель: x минус 2 конец дроби меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно) (равносильно система выражений x минус 4 меньше или равно 0, x больше 0, x не равно q 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 2, 2 меньше x меньше или равно 4. конец совокупности) Ответ: ((0; 2) \cup (2; 4 ])