Задание 17 ЕГЭ по профильной математике — Прикладная оптимизация

Решение.
Введём прямоугольную систему координат с началом координат в точке, где находится метеостанция, ось абсцисс направим на восток, ось ординат — на север. Тогда в момент первого измерения эпицентр циклона находился в точке с координатами ((минус 5;24) ,) а во время второго измерения — в точке с координатами ((минус 3,5;20)) По условию, эпицентр двигается прямолинейно. Пусть эта прямая задана уравнением (y=kx плюс b) Найдём коэффициенты k и b в уравнении этой прямой:
(система выражений 24= минус 5k плюс b,20= минус 3,5k плюс b конец системы . равносильно система выражений 4= минус 1,5k,b=24 плюс 5k конец системы . равносильно система выражений k= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ,b= дробь: числитель: 32, знаменатель: 3 конец дроби . конец системы)
Таким образом, уравнение прямой (y= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби x плюс дробь: числитель: 32, знаменатель: 3 конец дроби) или (8x плюс 3y минус 32=0) Тогда наименьшее расстояние, на которое эпицентр циклона приблизится к метеостанции, будет равно расстоянию от точки ((0;0)) до прямой (8x плюс 3y минус 32=0:)
(ρ= дробь: числитель: 8 умножить на 0 плюс 3 умножить на 0 минус 32 , знаменатель: корень из: начало аргумента: 8 в квадрате плюс 3 в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 32, знаменатель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента конец дроби) (км).
Ответ: (дробь: числитель: 32, знаменатель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента конец дроби) км.

Решение. Введём прямоугольную систему координат с началом координат в точке, где находится метеостанция, ось абсцисс направим на восток, ось ординат — на север. Тогда в момент первого измерения эпицентр циклона находился в точке с координатами ((минус 5;24) ,) а во время второго измерения — в точке с координатами ((минус 3,5;20)) По условию, эпицентр двигается прямолинейно. Пусть эта прямая задана уравнением (y=kx плюс b) Найдём коэффициенты k и b в уравнении этой прямой: (система выражений 24= минус 5k плюс b,20= минус 3,5k плюс b конец системы . равносильно система выражений 4= минус 1,5k,b=24 плюс 5k конец системы . равносильно система выражений k= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ,b= дробь: числитель: 32, знаменатель: 3 конец дроби . конец системы) Таким образом, уравнение прямой (y= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби x плюс дробь: числитель: 32, знаменатель: 3 конец дроби) или (8x плюс 3y минус 32=0) Тогда наименьшее расстояние, на которое эпицентр циклона приблизится к метеостанции, будет равно расстоянию от точки ((0;0)) до прямой (8x плюс 3y минус 32=0:) (\rho= дробь: числитель: 8 умножить на 0 плюс 3 умножить на 0 минус 32 , знаменатель: корень из: начало аргумента: 8 в квадрате плюс 3 в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 32, знаменатель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента конец дроби) (км). Ответ: (дробь: числитель: 32, знаменатель: корень из: начало аргумента: 73 конец аргумента конец дроби) км.

Решение.
Пусть ежегодный объем продукции, производимый кооперативом на момент начала 1925 года, равен V, (k_1 = 1 плюс дробь: числитель: p_1, знаменатель: 100 конец дроби ,) (k_2 = 1 плюс дробь: числитель: p_2, знаменатель: 100 конец дроби) Имеем:
(k_1 плюс k_2 = 1 плюс дробь: числитель: p_1, знаменатель: 100 конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: p_2, знаменатель: 100 конец дроби = 2 плюс дробь: числитель: p_1 плюс p_2, знаменатель: 100 конец дроби = 2 плюс дробь: числитель: 60, знаменатель: 100 конец дроби = 2,6)
Объем выпуска продукции к концу 1925 года был увеличен на p1 процентов, поэтому он составил Vk1. В начале 1926 года несколько цехов, достигших суммарно к концу предыдущего года ежедневного объема выпуска продукции, равного половине ежедневного объема выпускаемой продукции всего кооператива в начале 1925 года, были закрыты на реконструкцию, следовательно, объем выпускаемой продукции стал равен (Vk_1 минус 0,5V) К концу 1926 года оставшиеся цеха увеличили объем выпуска продукции на p2 процентов по сравнению с началом года, следовательно, объем выпуска продукции составил
((Vk_1 минус 0,5V) k_2 = (Vk_1 минус 0,5V) (2,6 минус k_1))
Найдем производную функции (f (k_1) = (Vk_1 минус 0,5V) (2,6 минус k_1) :)
(f' (k_1) = V (минус 2k_1 плюс 3,1))
Найдем нули производной:
(V (минус 2k_1 плюс 3,1) = 0 равносильно 2k_1 = 3,1 равносильно k_1 = 1,55)
Функция f(k1) принимает наибольшее значение в точке максимума — (k_1 = 1,55,) отсюда (p_1 = 55)
Ответ: 55.

Решение. Пусть ежегодный объем продукции, производимый кооперативом на момент начала 1925 года, равен V, (k_1 = 1 плюс дробь: числитель: p_1, знаменатель: 100 конец дроби ,) (k_2 = 1 плюс дробь: числитель: p_2, знаменатель: 100 конец дроби) Имеем: (k_1 плюс k_2 = 1 плюс дробь: числитель: p_1, знаменатель: 100 конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: p_2, знаменатель: 100 конец дроби = 2 плюс дробь: числитель: p_1 плюс p_2, знаменатель: 100 конец дроби = 2 плюс дробь: числитель: 60, знаменатель: 100 конец дроби = 2,6) Объем выпуска продукции к концу 1925 года был увеличен на p1 процентов, поэтому он составил Vk1. В начале 1926 года несколько цехов, достигших суммарно к концу предыдущего года ежедневного объема выпуска продукции, равного половине ежедневного объема выпускаемой продукции всего кооператива в начале 1925 года, были закрыты на реконструкцию, следовательно, объем выпускаемой продукции стал равен (Vk_1 минус 0,5V) К концу 1926 года оставшиеся цеха увеличили объем выпуска продукции на p2 процентов по сравнению с началом года, следовательно, объем выпуска продукции составил ((Vk_1 минус 0,5V) k_2 = (Vk_1 минус 0,5V) (2,6 минус k_1)) Найдем производную функции (f (k_1) = (Vk_1 минус 0,5V) (2,6 минус k_1) :) (f' (k_1) = V (минус 2k_1 плюс 3,1)) Найдем нули производной: (V (минус 2k_1 плюс 3,1) = 0 равносильно 2k_1 = 3,1 равносильно k_1 = 1,55) Функция f(k1) принимает наибольшее значение в точке максимума — (k_1 = 1,55,) отсюда (p_1 = 55) Ответ: 55.