Официальное решение.Решение.
Система имеет имеет смысл при (x больше 0, x не равно 1, y больше 0, y не равно 1) На ОДЗ преобразуем второе уравнение системы:
(дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию x 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию y 2 конец дроби =1ОДЗ равносильно логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 y=1 ОДЗ равносильно логарифм по основанию 2 xy=1 равносильно xy=2 равносильно y= дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби) (дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию x 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию y 2 конец дроби =1ОДЗ равносильно логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 y=1 ОДЗ равносильно)
(ОДЗ равносильно логарифм по основанию 2 xy=1 равносильно xy=2 равносильно y= дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби)
Решим систему графически. В системе координат xOy графиком первого уравнения является пучок прямых, проходящих через точку ((3;0)) (см. рис., выделено синим, зеленым, красным). Графиком второго уравнения системы является правая ветвь гиперболы (y= дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби) с выколотыми точками ((1;2)) и ((2;1)) (на рисунке изображено оранжевым цветом). В зависимости от значения параметра a прямая и гипербола могут не иметь общих точек или иметь одну или две общие точки.
При (a= минус 1) прямая (y=a (x минус 3) ,) изображенная на на рисунке зелёным цветом, проходит через выколотые точки гиперболы: точки ((1;2)) и ((2;1)) При (a=0) прямая (y=a (x минус 3) ,) на рисунке изображенная красным цветом, является асимптотой гиперболы. Значит, система не имеет решений при (a= минус 1) или (a_1 меньше a≤0,) где (a_1) — значение параметра, при котором прямая касается гиперболы (на рисунке изображено синим цветом).
Прямая и гипербола имеют общие точки, если имеет решение уравнение
(дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби =a (x минус 3) равносильно ax в квадрате минус 3ax минус 2=0)
Прямая касается гиперболы, если дискриминант (D=9a в квадрате плюс 8a) этого уравнения равен нулю. Тогда (a_1= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби)
Следовательно, система не имеет решений при (a= минус 1) или (минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби меньше a≤0)
Ответ: ((минус 1 ) ∪ (минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби ;0 ])
Примечание.
Дополнительно отметим, что при (a меньше минус 1) или (минус 1 меньше a меньше минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби) система имеет два решения, а при (a= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби) или (a больше 0) — одно решение.
Ответ.Решение.
Система имеет имеет смысл при (x больше 0, x не равно 1, y больше 0, y не равно 1) На ОДЗ преобразуем второе уравнение системы:
(дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию x 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию y 2 конец дроби =1\undersetОДЗ\mathop равносильно логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 y=1 \undersetОДЗ\mathop равносильно логарифм по основанию 2 xy=1 равносильно xy=2 равносильно y= дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби) (дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию x 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию y 2 конец дроби =1\undersetОДЗ\mathop равносильно логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 y=1 \undersetОДЗ\mathop равносильно)
(\undersetОДЗ\mathop равносильно логарифм по основанию 2 xy=1 равносильно xy=2 равносильно y= дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби)
Решим систему графически. В системе координат xOy графиком первого уравнения является пучок прямых, проходящих через точку ((3;0)) (см. рис., выделено синим, зеленым, красным). Графиком второго уравнения системы является правая ветвь гиперболы (y= дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби) с выколотыми точками ((1;2)) и ((2;1)) (на рисунке изображено оранжевым цветом). В зависимости от значения параметра a прямая и гипербола могут не иметь общих точек или иметь одну или две общие точки.
При (a= минус 1) прямая (y=a (x минус 3) ,) изображенная на на рисунке зелёным цветом, проходит через выколотые точки гиперболы: точки ((1;2)) и ((2;1)) При (a=0) прямая (y=a (x минус 3) ,) на рисунке изображенная красным цветом, является асимптотой гиперболы. Значит, система не имеет решений при (a= минус 1) или (a_1 меньше a\leqslant0,) где (a_1) — значение параметра, при котором прямая касается гиперболы (на рисунке изображено синим цветом).
Прямая и гипербола имеют общие точки, если имеет решение уравнение
(дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби =a (x минус 3) равносильно ax в квадрате минус 3ax минус 2=0)
Прямая касается гиперболы, если дискриминант (D=9a в квадрате плюс 8a) этого уравнения равен нулю. Тогда (a_1= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби)
Следовательно, система не имеет решений при (a= минус 1) или (минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби меньше a\leqslant0)
Ответ: ({ минус 1 } \cup (минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби ;0 ])
Примечание.
Дополнительно отметим, что при (a меньше минус 1) или (минус 1 меньше a меньше минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби) система имеет два решения, а при (a= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 9 конец дроби) или (a больше 0) — одно решение.
