Задание 20 ЕГЭ по профильной математике — Числа и их свойства

Решение.
а) Если наименьшее число равно 3, то сумма шести наименьших чисел не меньше 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33, а их среднее арифметическое больше 5.
б) Пусть сумма пяти наименьших чисел равна А, шестое по величине число равно В, а сумма пяти наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9. Тогда получаем: (B плюс C=90,) (A плюс B плюс C=99,) откуда (A=9) Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство (A больше или равно 15=1 плюс 2 плюс 3 плюс 4 плюс 5)
в) (A плюс B=30,) (B плюс C=90) Получаем:
(S минус B= дробь: числитель: A плюс B плюс C, знаменатель: 11 конец дроби минус B= дробь: числитель: (A плюс B) плюс (B плюс C) минус 12B, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 120 минус 12B, знаменатель: 11 конец дроби)
Значит, нужно найти наименьшее значение В.
Пусть числа, написанные на доске, равны
(a_1, a_2, умножить на s, a_11,) причем (a_1 меньше a_2 меньше умножить на s меньше a_11) Тогда (a_1 плюс 5 меньше или равно a_2 плюс 4 меньше или равно a_3 плюс 3 меньше или равно a_4 плюс 2 меньше или равно a_5 плюс 1 меньше или равно a_6 = B,)
откуда
(a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 плюс a_5 плюс a_6 плюс 15 меньше или равно 6B равносильно 45 меньше или равно 6B равносильно B больше или равно 7,5)
Значит, (B больше или равно 8,) поскольку B целое.
Покажем, что число В может равняться 8. Например, если на доске написаны числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40, то условия задачи выполнены и (B=8)
Таким образом, (S минус B= дробь: числитель: 120 минус 12B, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 11 конец дроби)
Ответ: а) нет, б) нет, в) (дробь: числитель: 24, знаменатель: 11 конец дроби)

Решение. а) Если наименьшее число равно 3, то сумма шести наименьших чисел не меньше 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33, а их среднее арифметическое больше 5. б) Пусть сумма пяти наименьших чисел равна А, шестое по величине число равно В, а сумма пяти наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9. Тогда получаем: (B плюс C=90,) (A плюс B плюс C=99,) откуда (A=9) Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство (A больше или равно 15=1 плюс 2 плюс 3 плюс 4 плюс 5) в) (A плюс B=30,) (B плюс C=90) Получаем: (S минус B= дробь: числитель: A плюс B плюс C, знаменатель: 11 конец дроби минус B= дробь: числитель: (A плюс B) плюс (B плюс C) минус 12B, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 120 минус 12B, знаменатель: 11 конец дроби) Значит, нужно найти наименьшее значение В. Пусть числа, написанные на доске, равны (a_1, a_2, умножить на s, a_11,) причем (a_1 меньше a_2 меньше умножить на s меньше a_11) Тогда (a_1 плюс 5 меньше или равно a_2 плюс 4 меньше или равно a_3 плюс 3 меньше или равно a_4 плюс 2 меньше или равно a_5 плюс 1 меньше или равно a_6 = B,) откуда (a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 плюс a_5 плюс a_6 плюс 15 меньше или равно 6B равносильно 45 меньше или равно 6B равносильно B больше или равно 7,5) Значит, (B больше или равно 8,) поскольку B целое. Покажем, что число В может равняться 8. Например, если на доске написаны числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40, то условия задачи выполнены и (B=8) Таким образом, (S минус B= дробь: числитель: 120 минус 12B, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 11 конец дроби) Ответ: а) нет, б) нет, в) (дробь: числитель: 24, знаменатель: 11 конец дроби)

Решение.
a) Например, пусть n = 3. Имеем (3 в квадрате = 9,) ((3 плюс 14) в квадрате = 17 в квадрате = 289) Эти числа дают остаток 9 при делении на 40.
б) Пусть n2 и (n + 14)2 дают одинаковый остаток при делении на 40. Тогда число
((n плюс 14) в квадрате минус n в квадрате = 14 (2n плюс 14) = 28 (n плюс 7))
должно делиться на 40. Это будет выполнено тогда и только тогда, когда n + 7 делится на 10. Значит, все искомые n имеют вид (n = 10p плюс 3,) где p — натуральное число или 0, и удовлетворяют неравенствам (100 меньше или равно n меньше 1000) Решая неравенства относительно p, получаем:
(10 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно p меньше 100 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 конец дроби ,)
где (p = 10, 11 …, 99,) то есть 90 различных решений, каждому из которых соответствует единственное искомое число n.
в) Пусть n2 и (n + m)2 дают одинаковый остаток при делении на 40. Тогда число ((n плюс m) в квадрате минус n в квадрате = m (2n плюс m)) должно делиться на 40. Наибольший общий делитель d чисел m и 40 может равняться 1, 2, 4, 5, 8, 10 или 20. Чтобы (m (2n плюс m)) делилось на 40, необходимо и достаточно, чтобы число (2n плюс m) делилось на (дробь: числитель: 40, знаменатель: d конец дроби) Если d = 1 или 5, то m нечётно и таких n не существует. Если m чётно, то для некоторого натурального k имеем m = 2k, и условию удовлетворяют те и только те трёхзначные n, для которых (2 (n плюс k)) делится на (дробь: числитель: 40, знаменатель: d конец дроби) При d = 2 таких n существует ровно 90, так как подходящими будут те и только те n, при которых n + k делится на 10 (решение аналогично пункту б). При d = 4, d = 8, d = 20 таких чисел n будет больше, так как подойдут все трёхзначные числа, для которых n + k делится на 5. При d = 5, d = 10 таких чисел n также будет больше, так как подойдут все трёхзначные числа, для которых n + k делится на 4. Значит, условию задачи удовлетворяют чётные двузначные числа (m меньше 40,) не кратные 4 или 5. Это числа 14, 18, 22, 26, 34, 38, и всего их 6.
Ответ: а) 3, б) 90, в) 6.

Решение. a) Например, пусть n = 3. Имеем (3 в квадрате = 9,) ((3 плюс 14) в квадрате = 17 в квадрате = 289) Эти числа дают остаток 9 при делении на 40. б) Пусть n2 и (n + 14)2 дают одинаковый остаток при делении на 40. Тогда число ((n плюс 14) в квадрате минус n в квадрате = 14 (2n плюс 14) = 28 (n плюс 7)) должно делиться на 40. Это будет выполнено тогда и только тогда, когда n + 7 делится на 10. Значит, все искомые n имеют вид (n = 10p плюс 3,) где p — натуральное число или 0, и удовлетворяют неравенствам (100 меньше или равно n меньше 1000) Решая неравенства относительно p, получаем: (10 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно p меньше 100 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 конец дроби ,) где (p = 10, 11 \ldots, 99,) то есть 90 различных решений, каждому из которых соответствует единственное искомое число n. в) Пусть n2 и (n + m)2 дают одинаковый остаток при делении на 40. Тогда число ((n плюс m) в квадрате минус n в квадрате = m (2n плюс m)) должно делиться на 40. Наибольший общий делитель d чисел m и 40 может равняться 1, 2, 4, 5, 8, 10 или 20. Чтобы (m (2n плюс m)) делилось на 40, необходимо и достаточно, чтобы число (2n плюс m) делилось на (дробь: числитель: 40, знаменатель: d конец дроби) Если d = 1 или 5, то m нечётно и таких n не существует. Если m чётно, то для некоторого натурального k имеем m = 2k, и условию удовлетворяют те и только те трёхзначные n, для которых (2 (n плюс k)) делится на (дробь: числитель: 40, знаменатель: d конец дроби) При d = 2 таких n существует ровно 90, так как подходящими будут те и только те n, при которых n + k делится на 10 (решение аналогично пункту б). При d = 4, d = 8, d = 20 таких чисел n будет больше, так как подойдут все трёхзначные числа, для которых n + k делится на 5. При d = 5, d = 10 таких чисел n также будет больше, так как подойдут все трёхзначные числа, для которых n + k делится на 4. Значит, условию задачи удовлетворяют чётные двузначные числа (m меньше 40,) не кратные 4 или 5. Это числа 14, 18, 22, 26, 34, 38, и всего их 6. Ответ: а) 3, б) 90, в) 6.