Задание 25 ОГЭ по математике — Геометрия повышенной сложности

Решение.
Введем обозначения, как показано на рисунке. Проведем прямую OE, параллельную (AC) Прямая AC — касательная к обеим окружностям поэтому радиусы OA и CP перпендикулярны прямой AC, откуда заключаем, что (AO \parallel CP,) откуда (EP\perp OE) Рассмотрим четырехугольник (ACEO:) (AO\parallel CP,AC\parallel OE,) следовательно, ACEO — параллелограмм, откуда (AC=OE,AO=CE=25) Значит, (EP=CP минус CE=100 минус 25=75) Также заметим, что (OP=25 плюс 100=125) Углы SOA и SPC равны, как соответственные углы при параллельных прямых. Из треугольника (OEP:)
(косинус \angle SPC= дробь: числитель: EP, знаменатель: OP конец дроби = дробь: числитель: 75, знаменатель: 125 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби)
Из треугольника (AFO:) (FO=AO косинус \angle SOA=25 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби =15) Из треугольника (CPG:) (GP=CP косинус \angle SPC=100 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби =60) Таким образом, получаем, что искомое расстояние:
(FG=FP минус GP=FO плюс OP минус GP=15 плюс 125 минус 60=80)
Ответ: 80.

Решение.
Проведем построения и введем обозначения как указано на рисунке. Угол BKC — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых BK и AD — точка пересечения высот H. Продолжим высоту AD до пересечения с окружностью в точке Q. Получаем, что (MD=QD=42) По теореме о секущих получаем, что
(AM умножить на AQ=AK умножить на AC= (49 минус 42) умножить на (49 плюс 42) =637)
Треугольники AKH и ADC — прямоугольные, угол DAC — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:
(дробь: числитель: AK, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: AH, знаменатель: AC конец дроби равносильно AH= дробь: числитель: AK умножить на AC, знаменатель: AD конец дроби равносильно AH= дробь: числитель: 637, знаменатель: 49 конец дроби =13)
Ответ: 13.